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Fórmulas para la Conversión de Tk a Número de Exentación n

La función original que define el exponente k para una exentación n es:

\(e(n) = \begin{cases} 0 & \text{si } n=1 \| \\(-1)^n \cdot \lfloor n/2 \rfloor & \text{si } n>1 \end{cases}\)

Para encontrar el número de exentación n a partir de un exponente k, derivamos las siguientes tres condiciones basadas en la definición de e(n):

1. Si el exponente k es igual a 0: Esto solo ocurre cuando n=1.
   \(n = 1 \quad \text{si } k = 0\)
2. Si el exponente k es positivo (k>0): Los exponentes positivos se generan cuando n es un número par. En este caso, (−1)n=1, y la fórmula se simplifica a k=⌊n/2⌋. Dado que n es par, ⌊n/2⌋=n/2. Por lo tanto:
   \(k = n/2 \rightarrow n = 2k \quad \text{si } k > 0\)
3. Si el exponente k es negativo (k<0): Los exponentes negativos se generan cuando n es un número impar. En este caso, (−1)n=−1, y la fórmula es k=−⌊n/2⌋. Para un n impar, ⌊n/2⌋=(n−1)/2. Sustituyendo esto en la ecuación:
   \(k = -(n-1)/2\)
   Multiplicando por −2:
   \(-2k = n-1\)
   Despejando n:
   \(n = -2k + 1 \quad \text{si } k < 0\)

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Resumen de las Fórmulas Inversas

Combinando estas tres condiciones, la fórmula para encontrar el número de exentación n dado un exponente k es:

\(n = \begin{cases} 1 & \text{si } k = 0 \ \\ 2k & \text{si } k > 0 \ \\-2k + 1 & \text{si } k < 0 \end{cases}\)