Arxe Logic

La Relación Matemática entre Exentaciones y Exponentes en la Teoría ArXe

En la Teoría ArXe, la progresión de las exentaciones no solo define una jerarquía de coherencia lógica, sino que también establece directamente el comportamiento dimensional del tiempo y, consecuentemente, de las demás dimensiones físicas. Hemos desarrollado un sistema de fórmulas elegante que conecta el nivel de una exentación \(n\) con el exponente temporal \(e(n)\) que se le asocia. Esta formalización es el cimiento para la derivación de la longitud y la masa.

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La Función Exponente: \(e(n)\)

Para cada nivel de exentación, representado por el número natural \(n \in \mathbb{N}\) (donde \(n = 1\) es la primera exentación, \(n = 2\) la segunda, y así sucesivamente), el exponente temporal \(e(n)\) se define de la siguiente manera:

\(
e(n) =
\begin{cases}
0 & \text{si } n = 1 \
(-1)^n \cdot \lfloor n/2 \rfloor & \text{si } n > 1
\end{cases}
\)

Análisis de los Componentes:

• \(n\) (Nivel de Exentación): Es el índice natural que organiza la secuencia de exentaciones, indicando la complejidad lógica alcanzada.
• \( (-1)^n \) (Alternancia de Signo): Hace que el exponente alterne su signo (positivo o negativo) a medida que avanzamos en los niveles de exentación.
  Por ejemplo, si \(n\) es par, \( (-1)^n = +1 \); si \( n \) es impar, \( (-1)^n = -1 \).
  Esta alternancia sugiere una dinámica de expansión y contracción, o de propiedades inversas, inherente a la evolución de la realidad.
• \(\lfloor n/2 \rfloor\) (Magnitud del Exponente): La función piso devuelve el mayor entero menor o igual a \(n/2\). Este componente asegura que la magnitud del exponente aumenta progresivamente en pasos de 1 cada dos niveles de exentación.

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Comprobación de la Secuencia de Exponentes:

Veamos cómo esta fórmula genera la secuencia específica de exponentes temporales:

\(e(1) = 0 \Rightarrow T^0\)
\(e(2) = (+1) \cdot 1 = +1 \Rightarrow T^{+1} \)
\(e(3) = (-1) \cdot 1 = -1 \Rightarrow T^{-1} \)
\(e(4) = (+1) \cdot 2 = +2 \Rightarrow T^{+2} \)
\(e(5) = (-1) \cdot 2 = -2 \Rightarrow T^{-2} \)
\(e(6) = (+1) \cdot 3 = +3 \Rightarrow T^{+3} \)
\(e(7) = (-1) \cdot 3 = -3 \Rightarrow T^{-3} \)

Esta secuencia constituye la base para la asignación dimensional de cada nivel de exentación.

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La Función Inversa: \(n(k)\)

Para determinar el nivel de exentación a partir de un exponente temporal entero \(k \in \mathbb{Z}\), definimos la función inversa \(n(k)\):

\(
n(k) =
\begin{cases}
1 \quad \text{si } k = 0 \\
2 \quad|k| + \delta(k < 0) \quad \text{si } k \ne 0
\end{cases}
\)

Aquí, \(\delta(k < 0)\) es la función indicadora que vale \(1\) si \(k < 0\) y \(0\) si \(k > 0\). Esta distinción es crucial para ubicar correctamente los signos negativos en la alternancia de la jerarquía.

Forma Alternativa (usando la función signo):

También puede escribirse de forma equivalente usando la función signo \(sgn(k)\):

\(
n(k) =
\begin{cases}
1 \quad \text{si } k = 0 \\
2 \quad |k| + \frac{1 – sgn(k)}{2} \quad \text{si } k \ne 0
\end{cases}
\)

Donde:

\(
sgn(k) =
\begin{cases}
-1 \quad \text{si } k < 0 \\
0 \quad \text{si } k = 0 \\
+1 \quad \text{si } k > 0
\end{cases}
\)

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Importancia para la Teoría ArXe

Estas dos funciones —\(e(n)\) y \(n(k)\)— son pilares matemáticos que dotan a la Teoría ArXe de rigor lógico y estructura dimensional consistente:

• Fundamento Cuantitativo: Proporcionan una justificación explícita y deducible para la asignación de exponentes temporales a cada nivel de exentación.
• Consistencia Interna: Al definir una relación biyectiva entre jerarquías lógicas y exponentes físicos, se garantiza una coherencia interna estructural.
• Base para la Derivación Dimensional: Este sistema de exponentes permite construir una interpretación donde la Longitud \(L\) y la Masa \(M\) emergen como funciones derivadas de las distintas manifestaciones jerárquicas del Tiempo \(T\).

Exentacion a tiempo