Arxe Logic

Resumen

Esta nota explora el carácter autoreferencial del Principio de No Contradicción (PNC) y la Paradoja del Mentiroso (PM). Ambos casos se analizan dentro de un marco lógico en el cual las proposiciones son tratadas como elementos de un dominio universal. El análisis muestra que su interpretación no es evidente por sí misma, sino que depende de convenciones externas a la lógica.

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1. Definiciones

El Principio de No Contradicción (PNC) se expresa como:

\(\neg (P \land \neg P)\)

La Paradoja del Mentiroso (PM) puede formularse como:

“Lo que digo no es verdad”,
o simplemente \(\neg P\)

En ambos casos, \(P\) denota una proposición arbitraria. En el PNC, los paréntesis “(…)” representan un tipo de proposición, un caso contenido dentro de \(P\).

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2. Formalización

Podemos reconstruir el razonamiento lógico en forma de silogismo:

1. Premisa i. Si toda proposición está representada en \(P\)*
2. Premisa ii. Y (…) es una proposición
3. Conclusión. Entonces (…) está representada en \(P\)

Esto se expresa en lógica de predicados de la siguiente manera:

• Premisa universal: para cualquier objeto \(x\), si \(x\) es una proposición, entonces está representado en \(P\).

\(\forall x , (P(x) \rightarrow R(x))\)

• Instanciación: sea (…) un objeto específico, representado con la constante \(c\).

\(P(c)\)

• Conclusión: (…) está representado en \(P\).

\(R(c)\)

De este modo, la inferencia completa es:

\(\forall x (P(x) \rightarrow R(x)) \ P(c) \ \therefore R(c)\)

*No confundir con la totalidad de proposiciones o con el conjunto de todas las proposiciones.

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3. Objeciones y respuestas

Objeción 1: La contradicción no es una proposición.
Respuesta: Si la contradicción no es una proposición, entonces carece de sentido negarla, ya que no podría ser ni verdadera ni falsa.

Objeción 2: “(…)” no representa a una proposición sino a una variable proposicional.
Respuesta: Afirmar que “(…)” no es una proposición pero la contiene implica que es una proposición contenida, ergo, un tipo de proposición.

Objeción 3: Esa no es la forma en que debe interpretarse el PNC.
Respuesta: Una convención sobre la interpretación es un acuerdo arbitrario, no una forma válida de inferencia. Por tanto, no invalida el silogismo.

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4. Reflexión

El análisis sugiere que es necesaria una convención para interpretar el “verdadero” significado del PNC. El principio no resulta autoevidente por sí solo, sino que depende de un marco interpretativo externo. Sin embargo, dichas convenciones son acuerdos arbitrarios, ajenos a la estructura lógica que el principio pretende establecer.

Esta tensión sitúa al PNC y a la PM en una misma familia de fenómenos autoreferenciales, donde la lógica requiere apoyarse en reglas externas de estabilización para conservar la consistencia.